Question

14．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A、B两点，点B的坐标为（-4，-2），C为第一象限内双曲线y=$\frac{k}{x}$上一点，且点C在直线y=$\frac{1}{2}$x的上方．
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）若△AOC的面积为6，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决．
（2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE=6，列出方程即可解决．

解答 解：（1）∵点B（-4，-2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴$\frac{k}{-4}$=-2，
∴k=8，
∴双曲线的函数解析式为y=$\frac{8}{x}$．
（2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
∵正比例函数与反比例函数的交点A、B关于原点对称，
∴A（4，2），∴OE=4，AE=2，
设点C的坐标为（a，$\frac{8}{a}$），则OF=a，CF=$\frac{8}{a}$，
则S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE，
=$\frac{1}{2}$×$a×\frac{8}{a}$+$\frac{1}{2}$（2+$\frac{8}{a}$）（4-a）-$\frac{1}{2}$×4×2
=$\frac{16-{a}^{2}}{a}$，
∵△AOC的面积为6，
∴$\frac{16-{a}^{2}}{a}$=6，
整理得a²+6a-16=0，
解得a=2或-8（舍弃），
∴点C的坐标为（2，4）．

点评 本题考查反比例函数与一次函数交点、解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用分割法求四边形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．