Question

如图1，O是正△ABC的内心，分别延长OA、OC到点E、D，使OE=2OA，OD=2OC，连接DE，将△DOE绕点O逆时针旋转α角得到△D₁OE₁（如图2所示）．
（1）猜想AE₁和CD₁之间的数量关系，并给予证明；
（2）当α=60°时，求证：OD₁⊥AC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接AE₁，CD₁，根据旋转性质可得OD₁=OE₁，∠AOE₁=∠COD₁，即可证明△AOE₁≌△COD₁，即可解题；
（2）根据α可以求得∠COD=60°，再根据内心的性质可得∠OCD=30°，即可解题．

解答：（1）证明：连接AE₁，CD₁，

∵△DOE绕点O逆时针旋转α角得到△D₁OE₁，
∴OD₁=OE₁，∠AOE₁=∠COD₁，
在△AOE₁ 和△COD₁ 中，

AO=CO ∠AOE1=∠COD1 OD1=OE1

，
∴△AOE₁≌△COD₁（SAS），
∴AE₁=CD₁；
（2）∵α=60°，
∴∠COD=60°，
∵∠OCD=30°，
∴∠ODC=90°，
∴OD₁⊥AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△AOE₁≌△COD₁ 是解题的关键．