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如图,已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E,边AC过圆心O与圆O相交于点F、G.
(1)求证:DE∥AC;
(2)若△ABC的边长为a,求△ECG的面积.

【答案】分析:(1)由△ABC是等边三角形可知∠B、∠C的度数,又因AB、BC是圆O的切线,D、E是切点,可知BD=BE,故可以证明两直线平行.
(2)分别连接OD、OE,作EH⊥AC于点H,由题意知条件可求出AO=OC,由圆O的直径等于△ABC的高,得半径OG,进而求出CG,EH,
有三角形面积公式求出数值.
解答:解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,∠C=60°;
∵AB、BC是圆O的切线,D、E是切点,
∴BD=BE,
∴∠BDE=60°,∠A=60°,有DE∥AC.

(2)分别连接OD、OE,作EH⊥AC于点H.
∵AB、BC是圆O的切线,D、E是切点,O是圆心,
∴∠ADO=∠OEC=90°,OD=OE,AD=EC.
∴△ADO≌△CEO,有AO=OC=a.
∵圆O的直径等于△ABC的高,得半径OG=
∴CG=OC+OG=a+
∵EH⊥OC,∠C=60°,
∴∠COE=30°,EH=
∵S△ECG=CG•EH=)•

点评:本题是一道综合性很强的习题,考查到切线的性质,全等三角形的判断,等边三角形的性质等,是一道很不错的题.
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E,边AC过圆心O与圆O精英家教网相交于点F、G.
(1)求证:DE∥AC;
(2)若△ABC的边长为a,求△ECG的面积.

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17、如图,已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆AB和BC边相切于点D和E,与AC边相交于点F和G,求∠DEF的度数.

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