Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将三角板中一个30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．
（1）画出符合条件的图形．连接EF后，写出与△ABC一定相似的三角形；
（2）设AD=x，CF=y．求y与x之间函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△CEF与△DEF相似，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意画出图形，根据图形证出∠C=∠EDA=90°，∠A=∠A，即可推出两三角形相似；
（2）求出等边三角形BDF，求出BF=BD=1-y，又因为BD=AB-x=2-x，代入求出即可，根据y=x-1≥0得出x≥1，根据一定与线段AC、BC相交，得出AD最大到M处，求出AM即可得出答案；
（3）分为两种情况：①E为直角顶点时，求出AE，求出CE=

3

CF=

3

（x-1），根据AE+CE=

3

得出关于x的方程，求出即可；②F为直角顶点时，求出CE=

3

3

CF，推出方程

2 3

3

x+

3

3

（x-1）=

3

，求出x即可．

解答：解：（1）如图所示：
与△ABC一定相似的三角形是△AED；

（2）在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=

3

，
∵DE⊥AB，∠EDF=30°，
∴∠FDB=∠B=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BF=BD，
∴CF=1-BF=1-（2-AD）=AD-1，
∴y=x-1，
∵x-1≥0，
∴x≥1，
∵将三角板放在三角形ABC上时，一定与边AC、BC相交，
∴过C作CM⊥AB于M，最后D只能到M点，
此时BM=

1

2

BC=

1

2

，
∴x此时是2-

1

2

=

3

2

，
∴函数的定义域（即x的取值范围）是：1≤x≤

3

2

；

（3）在Rt△ADE中，
∵∠ADE=90°，∠A=30°，AD=x，
∴AE=

2 3

3

x，
当△CEF∽△EDF时（如图1），
∵∠CEF=∠EDF=30°，
∴CE=

3

CF，
∴

2 3

3

x+

3

（x-1）=

3

，
解得：x=

6

5

，
即AD=

6

5

；
当△CEF∽△FED时（如图2），
∵∠CFE=∠FDE=30°，
∴CE=

3

3

CF，
∴

2 3

3

x+

3

3

（x-1）=

3

，
解得：x=

4

3

，
即AD=

4

3

；
综上所述：AD=

6

5

或AD=

4

3

．

点评：本题考查的知识点有：含30度角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数，直角三角形性质，函数的定义域等，主要考查学生的计算能力和推理能力，题目比较好，有一定的难度．