Question

 已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为

B（0，-1）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．

(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0<t<10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．

 

Answer 1

解析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解.

（2）设C点坐标为（x,y）,由题意可知.过点C作轴于点D,连接AB,AC.易证,根据对应线段成比例得出的关系式，再根据点C在抛物线上得，联立两个关系式组成方程组，求出的值，再根据点C所在的象限确定点C的坐标。P为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．可得,故点H的坐标为（5,0）再根据点P在BC上，可求出直线BC的解析式，求出点P的坐标。

（3）根据,得，所以求的最大值就是求MN的最大值，而M,N两点的横坐标相同，所以MN就等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标,从而形成关于MN长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。

解：(1) ∵抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为.

由抛物线过B(0,-1) 得，∴．

∴抛物线的解析式为.

即．

 (2)设C的坐标为(x，y).

∵A在以BC为直径的圆上.∴∠BAC=90°．

作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC．

∵,∴

∴ △AOB∽△CDA． ∴

∴OB·CD=OA·AD．

即1·=2(x-2).∴=2x-4．

∵点C在第四象限.

∴

由解得  ．

∵点C在对称轴右侧的抛物线上.

∴点C的坐标为 (10,-16)．∵P为圆心，∴P为BC中点．

取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．

∴PH=(OB+CD)=．

∵D(10,0)∴H (5,0)∴P (5, )．  

故点P坐标为(5，)．

(3)设点N的坐标为，直线x=t（0<t<10）与直线BC交于点M.

，

所以

设直线BC的解析式为，直线BC经过B(0,-1)、C (10,-16)

所以成立，解得：

所以直线BC的解析式为，则点M的坐标为.

MN==

      ==

所以，当t=5时，有最大值，最大值是.

点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h,k）一般可设其解析式为.(2)求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.