Question

7．如图，在Rt△ABC中BC=AC=4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，AD的长为4$\sqrt{2}$-4或4．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AB=4$\sqrt{2}$，∠B=∠A′CB=45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，根据折叠的性质得到∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，推出A′C⊥AB，求得BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A′D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，然后列方程即可得到结果，②如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC=∠ACD，于是得到∠A′DC=∠A′CD，推出A′D=A′C，于是得到AD=AC=2．

解答 解：Rt△ABC中，BC=AC=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，∠B=∠A′CB=45°，
①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，
∵∠B=45°，
∴A′C⊥AB，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A′D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
∴x=4$\sqrt{2}$-4，
∴AD=4$\sqrt{2}$-4；
②如图2，当A′D∥AC，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，
∵∠A′DC=∠ACD，
∴∠A′DC=∠A′CD，
∴A′D=A′C，
∴AD=AC=4，
综上所述：AD的长为：4$\sqrt{2}$-4或4．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．