Question

在△ABC中和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，EF⊥AB于F，且AB=DE．
（1）观察并猜想，BD与BC有何数量关系？并证明你猜想的结论．
（2）若BD=8cm，试求AC的长．

Answer 1

（1）BD=BC，
证明：∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，∠FEB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠FEB，
在△ACB和△EBD中
∵，
∴△ACB≌△EBD（AAS），
∴BD=BC；

（2）解：∵由（1）知：△ACB≌△EBD，
∴BC=BD=8cm，BE=AC，
∵E为BC中点，
∴BE=BC=4cm，即AC=4cm．
分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠A=∠DEB，根据AAS证△ACB≌△EBD，根据全等三角形性质推出即可；
（2）根据全等推出AC=BE，BC=BD=8cm，根据线段中点求出BE，即可求出AC．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，线段中点定义，全等三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．