Question

如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G．
（1）求证：AE•BE=EF•EG；
（2）连接BD，若BD⊥BC，且EF=MF=2，求AE和MG的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB
∴∠ACB=∠BEG=∠AEF=90°
∴∠G+∠B=∠A+∠B=90°
即∠G=∠A
∴Rt△AEF∽Rt△GEB
∴，即AE•BE=EF•EG；

（2）解：∵DE⊥AB，
∴DE=EM=4
连接AD，∵AB是⊙O的直径，BD⊥BC
∴∠ACB=∠ADB=∠DBC=90°
∴∠DAF=90°
由Rt△AEF∽Rt△ADE可得AE²=DE•EF
∴AE=2
由相交弦定理可得DE•EM=AE•BE
∴EF•EG=DE•EM
∴EG===8
∴MG=EG-EM=8-4=4．
分析：（1）本题实际求的是△AEF和△EGB相似，这两个三角形中已知的条件有一组直角，只要再得出一组对应的角相等即可得出相似的结论．可在Rt△AEF和Rt△CGF中，根据对顶角和等角的余角相等来得出∠A=∠G，因此就构成了两三角形相似的条件，两三角形相似后即可得出所求的比例关系；
（2）求AE可通过相似三角形来求解．根据垂径定理我们可得出DE的长，根据∠ACB=∠DBC=∠CBD=90°，那么∠DAF=90°，因此不难得出△ADE和△ADE相似，有了DE，EF的长，即可通过相似得出的DE、AE、EF的比例关系求出AE的长，下面求MG的长，关键是求出EG的长，根据（1）的比例关系求EG就要先求出BE的长，我们已知了DE、EM、AE的长，可根据相交弦定理求出EB的长，也就能求出EG的长了，那么MG=EG-EM就求出MG的长了．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，相交弦定理等知识点的综合应用，根据相似三角形来得出线段的比例关系是解题的关键．