Question

如图所示，⊙O分别切△ABC的三边AB，BC，CA于点D，E，F，若BC=a，AC=b，AB=c．
求：（1）AD，BE，CF的长；
（2）当∠C=90°时，内切圆的半径长为多少？

Answer 1

解：

（1）设AD=x，BE=y，CF=z，由切线长性质可知AD=AF，BD=BE，CE=CF．
则，
解得，
即AD=，BE=，CF=．

（2）如右图所示，设⊙O内切于Rt△ABC，切点分别为D，E，F，
连接OD，OE，OF，则OD⊥AC，OF⊥AB，OE⊥BC．
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为正方形，则
CD=CE=r，AD=AF=b-r，BF=BE=a-r，而AF+BF=c，
∴b-r+a-r=c，
∴r=．
分析：（1）根据切线长定理列方程组求解；
（2）根据正方形的判定和性质发现直角三角形的内切圆的半径等于它的一条切线长，再进一步根据（1）的结论发现直角三角形的内切圆半径公式．
点评：熟练运用切线长定理，能够根据正方形的性质以及切线长定理推导出直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．