Question

3．如图，点A（2，4），作AB⊥x铀于点B，抛物线y=x²+bx+c的顶点P在直线OA上，且抛物线交线段AB于点Q，求线段AQ的最大值及此时抛物线的解析式．

Answer 1

分析 先求得直线OA的解析式，根据顶点P在直线OA上，设出点P的坐标，根据顶点坐标的公式得出b与c的关系，根据点Q的横坐标为2，代入抛物线即可得出点Q的纵坐标．

解答 解：设直线OA的解析式为y=kx，
把A（2，4）代入得y=2x，
∵抛物线y=x²+bx+c的顶点为点P，
∴设点P（-$\frac{b}{2}$，$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$），
∵点P在直线OA上，
∴2×（-$\frac{b}{2}$）=$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$，
∴c=$\frac{{b}^{2}-4b}{4}$，
∵点Q的横坐标为2，
∴y=4+2b+c，
将c=$\frac{{b}^{2}-4b}{4}$代入得，y=4+2b+$\frac{{b}^{2}-4b}{4}$，
∴Q（2，4+2b+$\frac{{b}^{2}-4b}{4}$）
∴AQ=4-（4+2b+$\frac{{b}^{2}-4b}{4}$），
整理得AQ=-$\frac{1}{4}$b²-b，
∴当b=-$\frac{-1}{2×（-\frac{1}{4}）}$=-2时，AQ最长=$\frac{-1}{4×（-\frac{1}{4}）}$=1，
当b=1时，c=-$\frac{3}{4}$，
∴此时抛物线的解析式为y=x²+x-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数顶点坐标的求法是解题的关键．