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    如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA，OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1，如图2．
    （1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；
    （2）当时α=30°，求证：△AOE1为直角三角形；
    （3）判断△EOF在旋转过程中与正方形ABCD重合部分的面积是否改变？如果改变，分别写出重合面积的最大值和最小值各是多少；如果不变，请说明理由．
    分析：（1）首先证明△AOE1≌△BOF1，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
    （2）延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE1．易证△OME1是等边三角形，利用三线合一定理即可证得；
    （3）作ON⊥AB于点N，作OH⊥AD于点H，即可证明：△ONQ≌△OHP，则S四边形OPAQ=S四边形OHAN，从而得到．
    解答：解：（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，
    又∵OF=2OA，OE=2OD，
    ∴OE=OF，则OE1=OF1，
    在△AOE1和△BOF1中，
    OE1=OF1
    ∠AOE1=∠BOF1
    OA=OB
    ，
    ∴△AOE1≌△BOF1
    ∴AE1=BF1；
    （2）延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE1．
    ∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，
    ∴∠AOE1=90°-30°=60°，
    ∴△OME1是等边三角形，
    又∵AM=OA，
    ∴AE1⊥OM，
    ∴△AOE1为直角三角形；
    （3）作ON⊥AB于点N，作OH⊥AD于点H．
    在△ONQ和△OHP中，
    ∠QON=∠PON
    ∠ONQ=∠OHP
    OH=ON
    ，
    ∴△ONQ≌△OHP，
    ∴S四边形OPAQ=S四边形OHAN，
    则在旋转过程中与正方形ABCD重合部分的面积不变．
    点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，正确证明三角形全等是关键．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•盐城二模）阅读下列材料：
    问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．
    小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连接PE，问题得以解决．
    请你回答：图2中∠APB的度数为
    135°
    135°
    ．
    请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：
    如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．
    （1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
    （2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于
    60°、65°、55°
    60°、65°、55°
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•泰安）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，-3），反比例函数y=
    kx
    的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点A，
    （1）求反比例函数与一次函数的解析式；
    （2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）正方形ABCD与等腰直角三角形PAQ如图1所示重叠在一起，其中∠PAQ=90°，点Q在BC上，连接PD，△ADP与△ABQ全等吗？请说明理由．
    （2）如图2，O为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N，使探索OM与ON的数量关系，并说明理由．
    （3）如图3，将（2）中的“正方形”改成“长方形”，其它的条件不变，且AB=4，AD=6，FM=x，FN=y，试求y与x之间的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F．
    求证：AE=AF．（初二）

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