Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
（2）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD．

∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，；
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴ED⊥DO，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线；

（2）解：连接CB，过点O作OG⊥AC于点G，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OG⊥AC，
∴OG∥CB，
∴，
∵5AC=3AB，
∴，
设AG=3x，AO=5x，
∵DE⊥AE，ED⊥DO，
∴四边形EGOD是矩形，
∴EG=OD，AE∥OD，
∴DO=5x，GE=5x，AE=8x，
∵AE∥OD，
∴∠EAD=∠FDO，
∵∠AFE=∠DFO
∴△AEF∽△DFO，
∴，
∴，
∴．
分析：（1）连接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）连接CB，过点O作OG⊥AC于点G，推出OG∥CB，得出，求出，设AG=3x，AO=5x，得出四边形EGOD是矩形，求出DO=5x，GE=5x，AE=8x，证△AEF∽△DFO，求出，即可得出答案．
点评：本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，题目比较好，有一定难度．