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    如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线.

    （1）如图2，在△ABC中，∠A=360°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；

    （2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；

    （3）如图4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=900，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论.

     

    【答案】

    （1）点D是AB边上的黄金分割点（2）直线CD是△ABC的黄金分割线（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线

    【解析】解：（1）点D是AB边上的黄金分割点，证明如下：

    ∵∠A=360°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=720。

    ∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=360。∴∠BDC=∠B=720。

    ∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC。∴。

    又∵BC=CD=AD，∴。

    ∴点D是AB边上的黄金分割点。

    （2）直线CD是△ABC的黄金分割线，证明如下：

    设△ABC的边AB上的高为h，则，

    ∴。

    ∵D是AB的黄金分割点，∴。∴。

    ∴直线CD是△ABC的黄金分割线。

    （3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线，证明如下：

    ∵BC∥AD，∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD。∴。

    ∴，即。

    同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得，即。

    ∴。∴AH=HD。∴BG=GC。

    ∴梯形ABGH与梯形GHDH上下底分别相等，高也相等。

    ∴。

    ∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线。

    （1）由等腰三角形角和边的关系，根据△BCD∽△BAC得到而证明。

    （2）根据黄金分割线的定义证明直线CD是△ABC的黄金分割线。

    （3）反复应用相似三角形的相似比得出梯形ABGH与梯形GHDH上下底分别相等，高也相等的结论，从而得到GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线的结论。

     

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    S1
    S
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    S2
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    V
    =
    V2
    V1
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    （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

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