Question

Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接OD、DE．
①求证：直线DE是⊙O的切线．
②当⊙O的半径为，DE=1时，求AD长．
③探究：当Rt△ABC的边AB、BC满足什么条件时，四边形OBED是正方形？说明理由．

Answer 1

解：如右图所示，连接BD，
①∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD，
同理在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OAD=∠CBD，
∴∠ODA=∠EBD，
又∵∠ODA+∠ODB=90°，
∴∠EBD+∠ODB=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵⊙O的半径为时，
∴AB=2，
又∵E为BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
故AD=DC，
∴AD==．

（3）当AB=BC时，三角形为等腰直角三角形，此时，四边形OBED是正方形．
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴O、E为AB、BC中点，
∴OB=BE，
又∵∠OBE=∠ODE=90°，
∴四边形OBED是正方形．
分析：（1）求出∠CDB=90°，推出DE=BE，得到∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，推出∠ODE=90°即可；
（2）当⊙O的半径为时，可求出直径AB=2，因为E是BD的中点，判断出DE是三角形的中位线，
据此即可求出DE的长，从而得到AD的长．
（3）当AB=BC时，三角形为等腰直角三角形，据此求出BE=BO，又知∠ABC=90°，可知四边形OBED是正方形．
点评：本题考查了切线的判定、勾股定理和正方形的判定，综合性较强，要注意作出合适的辅助线，为解题创造条件．