Question

2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为$\widehat{AB}$上一动点，求$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+PD的最小值．

Answer 1

分析 如图当A、P、D共线时，$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+PD最小，根据$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+PD=PM+PD=DM=AD-AM即可计算．

解答 解：如图当A、P、D共线时，$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+PD最小．
理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，
∵AB=BD=4，BD是切线，
∴∠ABD=90°，∠BAD=∠D=45°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB=∠PBA=45°，
∴PA=PB，PO⊥AB，
∵AC=PO=2，AC∥PO，
∴四边形AOPC是平行四边形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
∴四边形AOPC是正方形，
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+PD=PM+PD=DM，
∵DM⊥CO，
∴此时$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+DP最小=AD-AM=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质、轴对称-最短问题、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找到点P的位置，学会通过特殊点探究问题，找到解题的突破口，属于中考常考题型．