Question

如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若，AD=2，求线段BC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE、OC．
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC，
∴△OBC≌△OEC．
∴∠OBC=∠OEC．
又∵DE与⊙O相切于点E，
∴∠OEC=90°．
∴∠OBC=90°．
∴BC为⊙O的切线．

（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2．
∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，
∴DA=DE，CE=CB．
设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2．
在Rt△DFC中，（x+2）²-（x-2）²=（2）²，解得x=．
∴BC=．
分析：（1）因为BC经过圆的半径的外端，只要证明AB⊥BC即可．连接OE、OC，利用△OBC≌△OEC，得到∠OBC=90°即可证明BC为⊙O的切线．
（2）作DF⊥BC于点F，构造Rt△DFC，利用勾股定理解答即可．
点评：此题考查了切线的判定和勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．