Question

在正方形ABCD中，F点是BC上一点，连接DF，过点D作DE⊥DF交BA延长线于E点，连接EF，与BD交于点M．
（1）若DE=2，求EF的长；
（2）∠BEF的角平分线交BD于点G，过点G作GH⊥EF于H，过点D作DN⊥EF于N．求证：HG+DN=AD．

Answer 1

（1）解：正方形ABCD中，AD=DC，∠BAD=∠DCF=90°，
∵DE⊥DF，交BA延长线于E点，
∴∠EDA+∠ADF=90°，
又∵∠FDA+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
∵在△EAD和△FCD中，
，
∴△EAD≌△FCD（ASA），
∴ED=DF，
又∵DE⊥DF，
∴△EFD为等腰直角三角形，
∵DE=2，
∴EF=DE=2；

（2）证明：过G点作GP⊥AB于P，
则△PBG为等腰直角三角形，
则BG=PG，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠GEF，
又∵GP⊥AB，GH⊥EF，
∴PG=GH，
∴BG=GH，
∵由（1）知，∠DEF=45°，
∴∠DEG=45°+∠FEG，
∠DGE=∠BEG+45°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
在等腰直角△EDF中，∵DN⊥EF，
∴DE=DN，
∴DG=DN，
又∵BD=AD，BD=BG+GD，
即AD=GH+DN，
∴AD=GH+DN．
分析：（1）根据正方形的性质可得AD=DC，∠BAD=∠DCF=90°，再根据同角的余角相等求出∠EDA=∠FDC，然后利用“角边角”证明△EAD和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得到△EFD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答；
（2）过G点作GP⊥AB于P，可得△PBG为等腰直角三角形，然后求出BG=PG，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得GH=PG，从而求出BG=GH，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DEG=45°+∠FEG，∠DGE=∠BEG+45°，得到∠DEG=∠DGE，再根据等角对等边可得DG=DE，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍求出DG=DN，然后列式求解即可得证．
点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，（1）根据同角的余角相等求出相等的角从而得到全等三角形是解题的关键，（2）转化为求三条线段的的线段的关系是解题的关键．