Question

（2013•松北区三模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙0与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AD=BC=2

5

．求ED的长．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形“三合一”的性质推知∠1=∠2．由“直径所对的圆周角是直角”得到∠AED=∠AFD=90°．则根据角平分线的性质证得结论；
（2）在直角△ABD中利用勾股定理求得斜边AB的长度，然后根据面积法来求ED的长度．

解答：（1）证明：如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，
∴∠1=∠2．
又∵AD为直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；

（2）如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，AD=BC=2

5

．
∴BD=CD=

1

2

BC=

5

．
∴由勾股定理得到AB=

AD2+BD2

=5．
∵由（1）知DE⊥AB，
∴

1

2

AD•BD=

1

2

AB•ED，
∴ED=

AD•BD

AB

=

2 5 • 5

5

=2．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理．注意，勾股定理应用于直角三角形中．