Question

3．已知：如图所示，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$交x轴于点A，交y轴于点B，若点P从点A出发，沿射线AB作匀速运动，点Q从点B出发，沿射线BO作匀速直线运动，两点同时出发，运动速度也相同，当△BPQ为直角三角形时，则点Q的坐标为（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 根据题意表示出△BPQ的三边长，分∠BQP=90°、∠QBP=90°、∠BPQ=90°三种情况，根据勾股定理计算．

解答 解：对于直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
当y=0时，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$=0，
解得，x=3，
当x=0时，y=$\sqrt{3}$，
∴OA=3，OB=$\sqrt{3}$，
∴∠OAB=30°，
设运动的速度为1，时间为t，
则点P的坐标为：（3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，$\frac{1}{2}$t），点Q的坐标为：（0，$\sqrt{3}$-t），
则BQ=t，PB=2$\sqrt{3}$-t，PQ=$\sqrt{（3-\frac{\sqrt{3}}{2}t）^{2}+（\frac{3}{2}t-\sqrt{3}）^{2}}$，
当∠BPQ=90°时，（2$\sqrt{3}$-t）²+（3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²+（$\frac{3}{2}$t-$\sqrt{3}$）²=t²，
解得，t₁=2$\sqrt{3}$，t₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
点Q的坐标为（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．，
当∠BQP=90°时，t²+（3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²+（$\frac{3}{2}$t-$\sqrt{3}$）²=（2$\sqrt{3}$-t）²，
解得，t₁=0，t₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则点Q的坐标为（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
当∠PBQ=90°时，t²+（2$\sqrt{3}$-t）²=（3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²+（$\frac{3}{2}$t-$\sqrt{3}$）²，
解得，t₁=0，t₂=2$\sqrt{3}$，
点Q与B重合，
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，灵活运用分情况讨论思想、掌握两点间的距离公式是解题的关键．