Question

如图，正方形ABCD中，点E是AD的中点，点P是AB上的动点，PE的延长线与CD的延长线交于点Q，过点E作EF⊥PQ交BC的延长线于点F．给出下列结论：
①△APE≌△DQE；
②点P在AB上总存在某个位置，使得△PQF为等边三角形；
③若tan∠AEP=

2

3

，则

S△PBF

S△APE

=

14

3

．
其中正确的是（　　）

A．①

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

①∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=QD，∠A=∠B=90°，
∵E为AD中点，
∴AE=ED．
在△AEP和△DFQ中
∵

∠A=∠B AE=DE ∠AEP=∠DEQ

，
∴△AEP≌△DFQ，故①正确；
②作EG⊥CD于G，EM⊥BC于M，
∴∠PGQ=∠EMF=90°．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF=90°，
即∠PEH+∠HEF=90°，
∵∠HPE+∠HEP=90°，
∴∠HPE=∠HEF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PG=EM．
在△EFM和△PQG中
∵

∠PGQ=∠EMF PG=ME ∠HPE=∠HEF

，
∴△EFM≌△PQG，
∴EF=PQ，
∴在Rt△PEF中，PF＞EF，
∴PF＞PQ，
∴△PQF不能为等边三角形，故②错误；
③∵△AEP≌△DFQ，
∴AE=ED，
∵tan∠AEP=

2

3

=

AP

AE

，设AP=2a，AE=3a，
∴ED=3a．
∴AD=6a．
∵∠AEP+∠DEF=90°，∠DEF+∠DRE=90°，
∴tan∠DRE=

2

3

=

DE

DR

，
∴DR=4.5a，
∴CR=1.5a．
∵∠CRF=∠DRE，
∴tan∠ERF=

2

3

=

CF

CR

，
∴CF=a．
∴BF=7a，BP=4a，
∴S_△APE=

1

2

（2a.3a）=3a，S_△PBF=

1

2

（4a.7a）=14a，
∴

S△PBF

S△APE

=

14

3

，故③正确．
故选B．