Question

11．如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，F是AD延长线上一点，且DF=BE，点G在AD上，且∠ECG=45°．
（1）观察图形，结合已知条件试找出图中的全等三角形，并说明你是如何推理出来的．
（2）GE、BE、DG的关系怎样，为什么？

Answer 1

分析 （1）先利用“ASA”证明△BCE≌△DCG，则CE=CF，∠BCE=∠DCF，再证明∠GCF=∠ECG=45°，然后根据“SAS”证明△ECG≌△FCG；
（2）利用△ECG≌△FCG得到EG=GF，所以GE=GD+DF=BE+DG．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°，
在△BCE和△DCG中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠B=∠CDF}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS）；
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠DCF=90°，即∠ECF=90°，
∵∠ECG=45°，
∴∠GCF=∠ECG=45°，
在△ECG和△FCG中
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠GCE=∠GCF}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG（SAS）；
（2）∵△ECG≌△FCG，
∴EG=GF，
∴GE=GD+DF，
而DF=BE，
∴GE=BE+DG．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质．