Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，B（5，0），M为梯形OBCD底边OB上的一点，OM＜3，OD=BC=2，∠DMC=∠DOM=60°．
（1）求点C的坐标；
（2）求点M的坐标；
（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（α为锐角）后，得到∠D₁MC₁，射线M D₁交直线DC于点E，射线MC₁交直线BC于点F，设DE=m，BF=n，求m与n的函数关系式．

Answer 1

解：（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．CN⊥OB，如图1，
在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
∴DA=OD•sin∠DOB=，
OA=OD•cos∠DOB=1，
∴点D的坐标为（1，），
∴AO=1，BN=1，
∴点C的坐标为：（4，）；

（2）∵∠CBM+∠CMB+∠MCB=180°，
∠DMC+∠MDC+∠DCM=180°，
∠DOB=∠CBM=∠DMC=60°，
∴∠CMB+∠MCB=∠MDC+∠DCM，
∵∠OMD+∠DMC+∠BMC=180°，∠CDM=∠DMO，∠CMB=∠DCM，
∴∠MDC=∠DMO=∠MCB，
∴△ODM∽△BMC，
∴，
∴OD•BC=BM•OM，
∵B点为（5，0），
∴OB=5．
设OM=x，则BM=5-x，
∵OD=BC=2，
∴2×2=x（5-x），
解得x₁=1，x₂=4，
∵OM＜3，
∴OM=4舍去，
∴M点坐标为（1，0）；

（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图2，
OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，
∴∠MDE=∠DMO，
又∵∠DMO=∠MCB，
∴∠MDE=∠MCB，
∵∠DME=∠CMF=α，
∴△DME∽△CMF，
∴，
∴CF=2DE，
∵CF=2-n，DE=m，
∴2-n=2m，即m=1-；
（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图3，
∵OM＜3，
∴M点坐标为（4，0）时，不合题意，舍去．
分析：（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．利用三角函数可求得，点D的坐标为（1，），进而得出C点坐标；
（2）先证明△ODM∽△BMC．得，所以OD•BC=BM•OM．设OM=x，则BM=5-x，得2×2=x（5-x），解得x的值，即可求得M点坐标；
（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图2，OM=1，BM=4．先求得DME∽△CMF，所以，
可得CF=2DE．所以2-n=2m，即m=1-．（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，OM=4，由OM＜3，得出不合题意，舍去．
点评：此题主要考查了函数和几何图形的综合运用，其涉及的知识点比较多．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义结合梯形的性质利用相似比中的成比例线段作为相等关系求线段之间的等量关系．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．