Question

已知，在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连结MF交线段AD于点P，连结NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y，

（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）当△FNP的面积为32时，求∠FNP的正切值；

（3）以P为圆心、AP为半径的圆能否与以G为圆心、GF为半径的圆相切，若能请求出x的值，若不能，请说明理由．

                                                           

 

Answer 1

（1）由△AEF∽△NKA，可得＝∴＝     ………… (1分)

经化简：y＝x＋6，其中0＜x≤6           ………………………… (2分)

（2）由y＝x＋6可知：NK＝AE，则△AEF≌△NKA   ∴FA＝AN，于是FP＝PM，AP＝MN

而S_△FNP＝S_△PNM＝S_{正方形DMNK}，即y²＝32，又y＞0，则y＝8，此时x＝2，………（4分）

作AH⊥PN于H，在Rt△KPN中，KN＝8，KP＝6，∴PN＝10

在Rt△APH中，AP＝4，，∴AH＝，PH＝， ∴NH＝10－＝

∴在Rt△ANH中，tan∠FNP＝＝     ………………………………………（6分）

（3）连结PG，延长FG交AD于Q点，则GQ⊥AD.且半径AP＝y＝x＋3，半径GF＝x，

圆心距PG用勾股定理表示，可有PG²＝(y－x)²＋6²＝(3－x)²＋36.     ……………（7分）

若两圆相切，则有两种情况：

①当两圆外切时，(3－x)²＋36＝(x＋3＋x)²    解得：x＝－3±3（负值舍去）………（8分）

②当两圆内切时，(3－x)²＋36＝(x＋3－x)²   方程无解              ……………（9分）

所以，当x＝3－3时，这两个圆相切.          ………………………………………（10分）