Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．
（1）当t=______s时，四边形PCDQ的面积为36cm²；
（2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当0＜t＜5时，若DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？

Answer 1

（1）∵AD=8cm，BC=10cm，点Q的速度是1cm/s，点P的速度是2cm/s，
∴QD=AD-AQ=8-t，
CP=BC-BP=10-2t，
∴当点P未到达点C时，四边形PCDQ的面积=

1

2

（8-t+10-2t）×6=36，
解得t=2；
当点P到达点C返回时，四边形PCDQ的面积=

1

2

（8-t+2t-10）×6=36，
解得t=14秒（不符合题意，舍去）；
所以，t=2s时，四边形PCDQ的面积为36cm²；

（2）①P未到达C点时，
∵四边形PCDQ是平行四边形，
∴8-t=10-2t，
解得t=2；
②P到达C点并返回时，
∵四边形PCDQ是平行四边形，
∴8-t=2t-10，
解得t=6，
综上所述，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值是2或6；

（3）①如图，若PQ=PD，过P作PE⊥AD于E，
则QD=8-t，QE=

1

2

QD=

1

2

（8-t），
AE=AQ+QE=t+

1

2

（8-t）=

1

2

（8+t），
∵AE=BP，
∴

1

2

（8+t）=2t，
解得t=

8

3

；
②如图，若QD=QP，过Q作QF⊥BC于F，
则QF=6，FP=2t-t=t，
在Rt△QPF中，由勾股定理得：
QF²+FP²=QP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得t=

7

4

，
综上所述，当t=

8

3

或

7

4

时，△DPQ是等腰三角形．