练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM=6cm，∠OMN=30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s），△PEF的面积为S（cm2）．
    （1）求等边△ABC的边长；
    （2）当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （3）点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形？若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由．
    精英家教网
    分析：（1）根据，∠OMN=30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．
    （2）根据OM=6cm，∠OMN=30°，利用勾股定理求出MN和ON的长，再根据△OMN∽△BEM，利用其对应边成比例求出BE、PE，然后利用三角形面积公式即可求得答案．
    （3）△PEF为等腰三角形，求出t的值，如果在0＜t＜3这个范围内就存在，否则就不存在．
    解答：解：（1）∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，OM=6cm，∠OMN=30°，
    ∴∠ONM=60°，
    ∵△ABC为等边三角形
    ∴∠AOC=60°，∠NOA=30°
    ∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，
    ∴OA=
    1
    2
    OM=
    1
    2
    ×6=3．

    （2）∵OM=6cm，∠OMN=30°，
    ∴ON=2
    		3
    ，MN=4
    		3
    ．
    ∵△OMN∽△BEM，
    ∴
    MB
    MN
    =
    BE
    ON
    ，
    ∴
    6-t
    4
    		3
    =
    EB
    2
    		3
    ，
    BE=
    6-t
    2
    ，
    当点P在BE上时，
    PE=BE-PB=
    6-t
    2
    -2t=
    6-5t
    2
    ，
    ∵∠A=60°，∠AFE=30°，
    ∴EF=
    		3
    AE=
    		3
    （3-BE）=
    		3
    （3-
    6-t
    2
    ）=
    		3
    2
    t，
    ∴△PEF的面积S=
    1
    2
    ×EF×PE=
    1
    2
    ×
    		3
    2
    t×
    6-5t
    2
    ，
    即S=
    		3
    (6t-5t2)
    8
    =-
    5
    		3
    t 2-6
    		3
    t 
    8
    （0＜t＜
    5
    6
    ）；
    当点P在AE上时，PE=PB-BE=2t-
    6-t
    2
    =
    5t-6
    2
    ，
    ∵∠A=60°，∠AFE=30°，
    ∴EF=
    		3
    AE=
    		3
    （3-BE）=
    		3
    （3-
    6-t
    2
    ）=
    		3
    2
    t，
    ∴△PEF的面积S=
    1
    2
    ×EF×PE=
    1
    2
    ×
    		3
    2
    t×
    5t-6
    2
    ，
    即S=
    		3
    (5t2-6t)
    8
    =
    5
    		3
    t 2-6
    		3
    t
    8
    （
    5
    6
    ＜t≤3）；

    （3）存在，有三种情况：
    ①当点P在线段AB上时，
    点P在AB上运动的时间为
    3
    2
    s，
    ∵△PEF为等腰三角形，∠PEF=90°，精英家教网
    ∴PE=EF，
    ∵∠A=60°，∠AFE=30°，
    ∴EF=
    		3
    AE=
    		3
    （3-BE）=
    		3
    （3-
    6-t
    2
    ）=
    		3
    2
    t，
    ∴
    6-5t
    2
    =
    		3
    2
    t或
    5t-6
    2
    =
    		3
    2
    t，
    解得t=
    15-3
    		3
    11
    或
    15+3
    		3
    11
    ＞
    3
    2
    （故舍去），
    ②当点P在AF上时，
    若PE=PF时，点P为EF的垂直平分线与AC的交点，
    此时P为直角三角形PEF斜边AF的中点，
    ∴PF=AP=2t-3，
    ∵点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，
    ∴0＜t＜3，
    在直角三角形中，cos30°=
    EF
    2
    PF
    =
    		3
    t
    8t-12
    =
    		3
    2
    ，
    解得：t=2，
    若FE=FP，
    AF=
    EF
    cos∠AFE
    =
    EF
    cos30°
    =t，
    则t-（2t-3）=
    		3
    2
    t，
    解得：t=12-6
    		3
    ；
    ③当PE=EF，P在AE上时无解，
    综上，存在t值为
    15-3
    		3
    11
    或12-6
    		3
    或2时，△PEF为等腰三角形．
    点评：此题涉及到含30度角的直角三角形、三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，尤其是动点问题，给此题增加了一定的难度，因此此题属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作
    （2，2）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，将一块腰长为2
    		2
    cm的等腰直角三角板ABC如图放置，BC边与x轴重合，∠ACB=90°，直角顶点C的坐标为（-3，0）．
    （1）点A的坐标为
    （-3，2
    		2
    ）
    （-3，2
    		2
    ）
    ，点B的坐为
    (-3-2
    		2
    ，0)
    (-3-2
    		2
    ，0)
    ；
    （2）求以原点O为顶点且过点A的抛物线的解析式；
    （3）现三角板ABC以1cm/s的速度沿x轴正方向平移，则平移的时间为多少秒时，三角板的边所在直线与半径为2cm的⊙O相切？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：同步轻松练习　八年级　数学　上 题型：059

    学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图)

    (1)按照这种规定填写下表：

    (2)根据表中的数据，将s作为纵坐标，n作为横坐标，在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点．

    (3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函数的解析式，并利用你探求的结果，求出当n＝10时，s的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2013-2014学年北京海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷（解析版） 题型：解答题

    阅读下面的材料：

    小明在研究中心对称问题时发现：

    如图1，当点为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点再绕着点旋转180°得到点，这时点与点重合.

    如图2，当点、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点,小明发现P、两点关于点中心对称.

    （1）请在图2中画出点、， 小明在证明P、两点关于点中心对称时，除了说明P、、三点共线之外，还需证明；

    （2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为（），点的坐为．

     

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），
    （1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作______．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案