Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

　

Answer 1

∵A（﹣3，0），C（0，4），

∴OA=3，OC=4．

∵∠AOC=90°，

∴AC=5．

∵BC∥AO，AB平分∠CAO，

∴抛物线的解析式为y=﹣x²+x+4；

（2）如图2，

设直线AB的解析式为y=mx+n，

∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，

∴

∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．

∴线段PQ的最大值为；

（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．

抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．

∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，

∴BG=．