Question

10．数学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为200$\sqrt{13}$米，斜坡BC的长为200$\sqrt{2}$米，坡度是1：1，已知A点海拔121米，C点海拔721米．
（1）问C点测得B点的俯角为45°，并求B点的海拔；
（2）求斜坡AB的坡度；
（3）为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度．

Answer 1

分析 （1）过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，根据斜坡BC的坡度是1：1，可得∠CBD=45°，继而可求得CD的长度，求出B点的高度；
（2）根据（1）中求得B点的高度，AB=200$\sqrt{13}$米，利用勾股定理求出AE的长度，易求得AB的坡度．
（3）根据CF⊥AM，BE⊥AM，BD⊥CF，得出四边形EFDB是矩形，继而可求得AF=800米，CF=600米，利用勾股定理即可求得AC的长度．

解答 解：（1）如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，
∵斜坡BC的坡度是1：1，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{1}$，
∴CD=BD，
∴∠BCD=45°
∴在C点测得B点的俯角为45°，
∴∠CBD=45°，又BC=200$\sqrt{2}$米，
∴CD=200$\sqrt{2}$×sin45°=200$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=200（米），
∵A点海拔121米，C点海拔721米，
∴CF=721-121=600（米）
∴B点的铅直高度为600-200=400（米），
即斜坡B点处的高度为400米；

（2）∵BE=400米，
∴AB=200$\sqrt{13}$米，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{（{200\sqrt{13}）}^{2}-40{0}^{2}}$=600（米），
∴AB的坡度i_AB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{400}{600}$=$\frac{2}{3}$，
故斜坡AB的坡度为1：1.5．

（3）∵CF⊥AM，BE⊥AM，BD⊥CF，
∴四边形EFDB是矩形，
∴EF=BD=200米，BE=DF=400米，
∴AF=200+600=800米，CF=CD+DF=200+400=600米，
∴AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=1000米．
即钢缆AC的长度为1000米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，要求同学们熟练掌握坡度的定义．