Question

已知：∠ABC=30°，AB=3cm，点D在射线BC上．
（1）若AD=

5

2

cm，在图①中作出△ABD；
（2）当AD=

 

cm时，△ABD唯一确定；（写出两个符合条件的值）
（3）如图②，若△ABD与△MNP中，∠ABD=∠MNP=30°，AB=MN=3cm，AD=MP=4cm，求证：△ABD≌△MNP．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,作图—复杂作图

专题：几何图形问题,作图题

分析：（1）先运用圆规以点A为圆心，以2.5cm为半径作弧，交BC于点D，连接AD，△ABD就是所求作的三角形；
（2）由弧与直线的交点个数相交时有两个交点，相切时只有一个交点，就可以得出一个交点与B点重合时或AD垂直于BC时AD的值唯一；
（3）作AE⊥BD于E，MF⊥NP于F，先证明△ABE≌△MNF就可以得出AE=MF，BE=NF，就可以得出△AED≌△MFP，就有ED=FP，进而得出结论．

解答：解：（1）根据条件作出图形为如图①．
以点A为圆心，以2.5cm为半径作弧，交BC于点D，D′，连接AD，AD′，△ABD和△ABD′就是所求作的三角形；
（2）由题意，得
当AD=AB时，AD与BC只有一个交点．
当AD⊥BC时，∴∠ADB=90°．
∵∠ABC=30°，
∴AD=

1

2

AB=1.5cm．
故答案为：3cm或1.5cm；
（3）作AE⊥BD于E，MF⊥NP于F，
∴∠AEB=∠MFN=∠AED=∠MFP=90°．
在△ABE和△MNF中，

∠AEB=∠MFN ∠ABD=∠MNP AB=MN

，
∴△ABE≌△MNF（AAS），
∴AE=MF，BE=NF．
在Rt△AED≌Rt△MFP中，

AD=MP AE=MF

，
∴Rt△AED≌Rt△MFP（HL），
∴ED=FP，
∴ED+BE=FP+NF，
∴BD=NP．
在△ABD和△MNP中

AB=MN AD=MP BD=NP

，
∴△ABD≌△MNP（SSS）．

点评：本题考查了基本作图的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，解答时运用全等三角形的性质是关键．