Question

如图1，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，边长为2cm的菱形DEFG两边DG、DE分别在AC、AB上．若菱形DEFG以1cm/s的速度沿射线AC方向平移．
（1）经过

 

秒菱形DEFG的顶点F恰好在BC上；
（2）求菱形DEFG的面积；
（3）设菱形DEFG与△ABC的重合部分为Scm²，菱形DEFG平移的时间为t秒．求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）要求菱形DEFG的顶点F恰好在BC上的时间，只要求出D点移动的距离即可，可根据平行线及等腰三角形的知识求得△EFC是等腰三角形，利用线段差可求AD的大小；
（2）要求菱形的面积，知道菱形的边长，只要求出菱形的一条对角线的长，利用勾股定理求得另一条对角线的长，可求面积；
（3）要求S与t的函数关系式，要分四种情况，对每种情况进行逐个分析，可得结论．

解答：
解：（1）如图2，
∵菱形DEFG，
∴EF∥DG∥AB，
∴∠B=∠EFC，
∵AB=AC=5cm，
∴∠B=∠C，
∴∠C=∠EFC，
∴EC=EF=2cm，
∴AD=AC-DE-EC
=5-2-2=1（cm），
∴要经过1秒菱形DEFG的顶点F恰好在BC上，

（2）如图3，连接GE、AF，交于点O，并延长AF交BC于点H．
∵AG=AE，
∴∠AGE=∠AEG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AEG=∠C=

180°-∠A

2

．
∴GE∥BC，
∴

AE

AC

=

GE

BC

，
∴GE=

12

5

．
∵菱形DEFG中，GE⊥AF，
∴AH⊥BC，
∴CH=

1

2

BC=3．
∴Rt△ACH中，AH=

AC2-CH2

=4．
∴

AO

AH

=

AE

AC

，
∴AO=

8

5

，
∴AF=

16

5

．
∴S_菱形DEFG=

1

2

GE•AF=

96

25

．

（3）①当0≤t≤1时，S=

96

25

②如图4，当1＜t≤3时，
AD=t，则CE=5-t-2=3-t，EN=EC=3-t，
故FN=2-（3-t）=t-1．
由△FMN∽△ABC可得

S△FMN

S△ABC

=（

FN

AC

）²．
即

S△FMN

12

=（

t-1

5

）²，
∴S_△FMN=

12

25

（t-1）²．
所以S=S_菱形AEFG-S_△FMN=

96

25

-

12

25

（t-1）²
③如图5，当3＜t≤5时，AD=t，则CD=5-t，
∵△DMC∽△ABC
∴

S

S△ABC

=（

DC

AC

）²．
即

S

12

=（

5-t

5

）²，
∴S=

12

25

（5-t）²．
④当t＞5时，S=0．

点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理、菱形的性质与平移的性质；在求s与t的关系是分情况讨论是正确解答的关键，做题时注意思考全面．