Question

根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)已知二次函数的图象经过点A(0，-1)、B(1，0)、C(-1，2)；

(2)已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)；

(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)、N(5，0)，且与y轴交于点(0，-3)；

(4)已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4.

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式： (1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求； (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求； (3)交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1，0)、(x2，0)时可利用此式来求. 解：(1)设二次函数关系式为y=ax2+bx+c(a≠0).由已知，这个函数的图象过(0，-1)，可以得到c=-1.又由于其图象过点(1，0)、(-1，2)两点，可以得到 解这个方程组，得 所以所求二次函数的关系式是y=2x2-2x-1. (2)因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-3， 又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以得到1=a(0-1)2-3. 解得a=4. 所以所求二次函数的关系式是y=4(x-1)2-3=4x2-8x+1. (3)因为抛物线与x轴交于点(-3，0)、(5，0)，所以设二次函数的关系式为y=a(x+3)(x-5). 又由于抛物线与y轴交于点(0，3)，可以得到-3=a(0+3)(0-5). 解得a=. 所以，所求二次函数的关系式是y=(x+3)(x-5)，即y=. (4)因为抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式为y=a(x-3)2-2. 由已知可知抛物线的对称轴为x=3. 因为抛物线与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为(1，0)和(5，0). 把x=1，y=0代入y=a(x-3)2-2，得a=. 所以y=(x-3)2-2，即y=x2-3x-.