Question

15．如图，抛物线y₁=$\frac{1}{2}$（x+1）²+1与y₂=a（x-4）²-3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：
①a=$\frac{2}{3}$；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y₁＞y₂
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 把点A坐标代入y₂，求出a的值，即可得到函数解析式；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．

解答 解：∵抛物线y₁=$\frac{1}{2}$（x+1）²+1与y₂=a（x-4）²-3交于点A（1，3），
∴3=a（1-4）²-3，
解得：a=$\frac{2}{3}$，故①正确；
过点E作EF⊥AC于点F，
∵E是抛物线的顶点，
∴AE=EC，E（4，-3），
∴AF=3，EF=6，
∴AE=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，AC=2AF=6，
∴AC≠AE，故②错误；
当y=3时，3=$\frac{1}{2}$（x+1）²+1，
解得：x₁=1，x₂=-3，
故B（-3，3），D（-1，1），
则AB=4，AD=BD=2$\sqrt{2}$，
∴AD²+BD²=AB²，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵$\frac{1}{2}$（x+1）²+1=$\frac{2}{3}$（x-4）²-3时，
解得：x₁=1，x₂=37，
∴当37＞x＞1时，y₁＞y₂，故④错误．
故选：B．

点评 本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．