Question

11．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-3，0），（x₁，0），且2＜x₁＜3，与y轴的负半轴交于点（0，-3）的上方．下列结论：①a＞b＞0；②6a+c＜0；③9a+c＞0；④3a＜b+1．其中正确结论的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①首先根据二次函数的图象开口向上，可得a＞0；然后根据二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-3，0），（x₁，0），且2＜x₁＜3，可得-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{b}{2a}$＜0，所以a＞b＞0，据此判断即可．
②首先根据x=-3时，y=0，可得9a-3b+c=0，所以（6a+c）+（3a-3b）=0；然后根据a＞b＞0，可得3a-3b＞0，所以6a+c＜0，据此判断即可．
③首先根据x=-3时，y=0，可得9a-3b+c=0；然后根据x=3时，y＞0，可得9a+3b+c＞0，据此推得9a+c＞0即可．
④首先根据x=-3时，y=0，可得9a-3b+c=0，则3a-b=-$\frac{c}{3}$，进而得出答案．

解答 解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0；
∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-3，0），（x₁，0），且2＜x₁＜3，
∴-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{b}{2a}$＜0，
∴a＞b＞0，
∴结论①正确；

∵x=-3时，y=0，
∴9a-3b+c=0，
∴（6a+c）+（3a-3b）=0；
又∵a＞b＞0，
∴3a-3b＞0，
∴6a+c＜0，
∴结论②正确；

∵x=-3时，y=0，
∴9a-3b+c=0；
∵x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
∴（9a-3b+c）+（9a+3b+c）＞0，
∴9a+c＞0，
∴结论③正确；

当x=-3时，y=0，可得9a-3b+c=0，
则3a-b=-$\frac{c}{3}$，
∵-3＜c＜0，
∴-$\frac{c}{3}$＜1，
∴3a＜b+1，故④正确．
故选：D．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．