Question

4．如图，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（2）的条件下，求∠EAG的度数．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质和折叠的性质可得AF=AB，∠AFE=∠D，由HL定理可证得Rt△ABG≌Rt△AFG；
（2）首先作出CD的垂直平分线，与CD相交于点E，再以E点为圆心，DE为半径作弧，A点为圆心，AF为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF，AE，EF，延长EF与BC相交于点G，如下图所示；
（3）由△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，利用全等三角形的性质可得∠EAF=∠EAD，∠GAF=∠GAB，易得∠EAG=∠EAF+∠GAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，可得结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵将△ADE沿AE对折得△AFE，
∴AF=AD=AB，∠AFE=∠D=90°，
在Rt△ABG与Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AB}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）如图所示：


（3）解：∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，
∴∠EAF=∠EAD，∠GAF=∠GAB，
∵在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=$\frac{1}{2}×$90°=45°．

点评 此题主要考查了折叠的性质、正方形的性质和全等三角形的性质及判定，综合利用各性质定理是解答此题的关键．