Question

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将其沿对角线BD折叠，顶点C的对应位置为G（如图1），BG交AD于E；再折叠，使点D落在点A处，折痕MN交AD于F，交DG于M，交BD于N，展开后得图2，则折痕MN的长为________．

Answer 1

分析：依题意可知△DFM为直角三角形，且DF=AD=2，由折叠的性质可证△ABE≌△GDE，在Rt△ABE中，由勾股定理求BE，利用△ABE∽△FDM，可得对应边的比相等可求MF，继而求出MN的长．
解答：如图，由已知可得MN垂直平分AD，DF=AD=2，FN=AB=，
∵AB=CD=GD，∠A=∠G=90°，∠AEB=∠GED，
∴△ABE≌△GDE，
设AE=x，则BE=ED=4-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得
AB²+AE²=BE²，即3²+x²=（4-x）²，
解得x=，
易证△ABE∽△FDM，
∴，即 =，
解得MF=．
∴MN=NF+FM==．
故答案为：．
点评：本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的运用．关键是由性质将有关线段进行转化．