Question

4．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC交BC于点E，CF平分∠ACD交AD于点F．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）如果BE=1，求平行四边形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明△CDF≌△ABE，再证明AF=CE，AF∥CE即可．
（2）在AB上取一点M使得AM=EM，先证明△EMB是等腰直角三角形，求出AB，根据S_{平行四边形AECF}=CE•AB计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠B=∠DAB=∠DCB=90°，∠DCA=∠BAC=45°，AD∥BC，
∵CF平分∠DCA，EA平分∠CAB，
∴∠DCF=∠EAB=22.5°，
在△DCF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B}\\{∠DCF=∠EAB}\\{CD=AB}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△ABE，
∴DF=BE，
∴AF=EC．∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：在AB上取一点M使得AM=EM，则∠MAE=∠MEA=22.5°，∴∠EMB=∠MAE+∠MEA=45°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴BE=MB=1，EM=AM=$\sqrt{2}$，
∴AB=1+$\sqrt{2}$，CE=BC-BE=$\sqrt{2}$
∴S_{平行四边形AECF}=CE•AB=$\sqrt{2}$•（1+$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的面积公式等知识，解题的关键是添加辅助线构造等腰直角三角形，学会添加辅助线的方法，属于中考常考题型．