Question

在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．
（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；
（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）根据BC与AC垂直得到BC与圆相切，再由AB与圆O相切于点P，利用切线长定理得到BC=BP，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠ACP+∠BCP=90°，等量代换即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据AC与BC垂直，得到AC与圆O相切，连接OP，AO，再由AB与圆O相切，得到OP垂直于AB，设OC=x，则OP=x，OB=BC-OC=6-x，求出PB的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AO的长，根据AC=AP，OC=OP，得到AO垂直平分CP，根据面积法求出CP的长，由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，即可确定出CP的范围．

解答：解：（1）当点O在AC上时，OC为⊙O的半径，
∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，
∴BC与⊙O相切．
∵⊙O与AB边相切于点P，
∴BC=BP，
∴∠BCP=∠BPC=

180°-∠B

2

，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠ACP=90°-∠BCP=90°-

180°-∠B

2

=

1

2

∠B．
即2∠ACP=∠B；
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=

AC2+BC2

=10，
如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，
∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，
∴AC与⊙O相切，
连接OP、AO，
∵⊙O与AB边相切于点P，
∴OP⊥AB，
设OC=x，则OP=x，OB=BC-OC=6-x，
∵AC=AP，
∴PB=AB-AP=2，
在△OPB中，∠OPB=90°，
根据勾股定理得：OP²+BP²=OB²，即x²+2²=（6-x）²，
解得：x=

8

3

，
在△ACO中，∠ACO=90°，AC²+OC²=AO²，
∴AO=

AC2+OC2

=

8

3

10

．
∵AC=AP，OC=OP，
∴AO垂直平分CP，
∴根据面积法得：CP=2×

AC•OC

AO

=

16 10

5

，
由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，
综上，当点O在△ABC外时，

16 10

5

＜CP≤8．

点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，切线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．