Question

在正方形ABCD中，将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，且CF=BF，另一边与BA的延长线交于点E，连接EF，与BD交于点M．∠BEF的角平分线交BD于点G，过点G作GH⊥AB于H．在下列结论中：（1）；（2）DG=DF；（3）∠BME=90°；（4）HG+EF=AD．正确的个数有

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

C
分析：利用相似三角形的性质与判定首先求出DW=x，进而得出QM=x，即可得出S_△BME=×MQ×BE=x²，S_△BDF=×2x×3x=3x²，即可得出①错误，再利用三角形的外角以及正方形的性质得出②正确，进而利用等腰三角形的性质求出其他答案．
解答：作MQ⊥AB于点Q，
假设CF=x，则BF=2x，BE=4x，AE=x，
∵AD∥BC，
∴=，
∴，
∴AW=，
∴DW=x，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
解得：DM=x，
∴BM=x，
∴QM=x，
∴S_△BME=×MQ×BE=x²，
S_△BDF=×2x×3x=3x²，
∴=，
∴故（1）错误；
∵在正方形ABCD中，将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，
∴DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵∠BEF的角平分线交BD于点G，
∴∠FEG=∠BEG，
∵∠DEG=∠DEF+∠FEG=45°+∠FEG，
∵∠EGD=∠ABD+∠BEG=45°+∠BEG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴ED=DG，
∴DG=DF，故（2）正确；
∵∠MBF+∠MFB=∠BME，
∵∠MBF=45°，
∵BF≠BE，
∴∠BFE≠45°，
∴∠MBF+∠MFB=∠BME≠90°，
故（3）错误；
延长EG到BC于点S，作SZ⊥EF于点Z，
∵CF=BF，
∴设FC=x，BF=2x，
∴AB=AD=3x，
∵将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，
∴可以得出AD=DC，DE=DF，
∠EAD=∠C=90°，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=FC=x，
∴EB=4x，
∴EF==2x，
∵∠BEF的角平分线交BD于点G，
∴BS=SZ，
sin∠ZFS===，
∴=，
∴=，
解得：SZ=（4-8）x，
∵HG∥BS，
∴=，
∴=，
解得：HG=（3-）x，
∴2HG+EF=（6-2）x+2x=6x，
2AD=6x，
∴2HG+EF=2AD，
∴HG+EF=AD，
故（4）正确．
故选C．
点评：此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点，综合性较强难度较大．