Question

如图，⊙O的半么为6，AB为弦，将⊙O沿弦AB所在的直线折叠后，

AB

上的点H与圆心O重合．
（1）求弦AB的长度．
（2）点E是

AOB

上的动点，过点E作

AOB

的切线交⊙O于C、D两点．
①当点E与点O重合时，判断CD与AB的位置关系，并说明理由；
②当点C与点A重合时，判断CD与AB的数量关系，并说明理由；
③请你直接写出线段CD的长度的范围．

Answer 1

分析：（1）连接EH，BO，根据勾股定理求出BM，根据垂径定理求出AB=2BM，求出即可；
（2）①连接EH，根据折叠得出AB⊥OH，根据切线定理得出HO⊥CD，根据平行线的判定推出即可；②求出AD长，即可得出答案；③当和A或B重合时，CD=AB，当和A、B不重合时，根据直径是最长的弦，CD＞6

3

．

解答：解：（1）如图3，连接EH，BO，
∵⊙O半径为6，沿AB折叠H和O重合，
∴OM=HM=3，OH⊥AB，
∴由垂径定理得：AB=2BM=2AM，由勾股定理得：BM=

62-32

=3

3

，
即AB=6

3

；

（2）①当点E与点O重合时，CD∥AB，
理由是：如图1，连接HE，
∵OH是半径，CD切⊙H于E，
∴OH⊥CD，
∵OH⊥AB，
∴CD∥AB；

②如图2，当点C与点A重合时，CD=AB=6

3

，
理由是：连接HD，
∵CD切⊙H于A，
∴HA⊥CD，
∴∠HAD=90°，
∴HD为直径，
即HD=2×6=12，
∵AH=6，
∴在Rt△DAH中，AD=

122-62

=6

3

，
即CD=AB=6

3

；

③∵当和A或B重合时，CD=AB，当和A、B不重合时，根据直径是最长的弦，CD＞6

3

，
∴线段CD的长度的范围是CD≥6

3

．

点评：本题考查了切线性质，垂径定理，勾股定理，平行线性质和判定的应用，注意：直径是最长的弦．