Question

17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若CD=CE，求证：AC⊥BD．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，由平行线证出∠ABC=∠DCE，∠BAC=∠ACD，∠ACB=∠DEC，由AAS证明△ABC≌△DCE即可；
（2）由（1）得：△ABC≌△DCE，得出AC=DE，证出四边形ACED是平行四边形，得出AD=CE，证出AD=CD，因此四边形ABCD是菱形，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE，∠BAC=∠ACD，
∵DE∥AC，
∴∠ACB=∠DEC，
在△ABC和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠DCE}&{\;}\\{∠ACB=∠DEC}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；

（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DCE；
∴AC=DE，
∵AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∵CD=CE，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．

点评 本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．