练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形．
    （1）如图①所示△ABC，△DBE，两直角边交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连接BF、AD，则线段BF与线段AD的数量关系是______；直线BF与直线AD的位置关系是______，并求证：FG+DC=AC；
    （2）如果小华将两块三角板△ABC，△DBE如图②所示摆放，使D、B、C三点在一条直线上，AC、DE的延长线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AE于点G，连接AD，FB，则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是______；
    （3）在（2）的条件下，若AG=，DC=5，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点（如图③），线段DF分别与线段BQ、BP相交于M、N两点，若PG=2，求线段MN的长．

    【答案】分析：（1）BF、ED的数量关系应该是相等，可通过证△BEF≌△BEA来得到这个结论，易证得△AEF、△BED都是等腰直角三角形，则AE=EF、BE=DE，即可证得所求的三角形全等；进而可得∠BFE=∠BAD，由于∠EBF、∠BFE互余，因此∠EBF、∠BAD也互余，由此得BF、AD互相垂直；易知△AFG、△CDF是等腰直角三角形，则AF=FG、CD=CF，即可证得AC=FG+CD．
    （2）解法同（1）．
    （3）此题较复杂，易得△ABC、△FCD、△AFG、△BED都是等腰直角三角形，根据已知条件先求得AC、BC、BD、CF、BG的长，过B作BH⊥FG于H，过P作PK⊥AG于K；已知PG的长，易求得PK、KG的值，进而可求得BK的长；易证得△BQH∽△BPK，根据得到的比例线段，可求得QH的长，进而可得FQ的长，然后通过△FQM∽△DBM，可求得DM的长，进而由△BDN∽△PFN求出DN的值，即可根据MN=DM-DN求出MN的值．
    解答：解：（1）结论：
    则线段BF与线段AC的数量关系是：相等；直线BF与直线AC的位置关系是：互相垂直；（1分）
    理由：∵△ABD是等腰直角三角形，且FG∥BD，
    ∴△AFG、△AEF都是等腰直角三角形；
    而∠ABD=∠FCD=45°，则△BEC也是等腰直角三角形，
    ∴AE=EF，BE=CF，
    又∵∠AEC=∠BEF=90°，
    ∴△BEF≌△CEA，得BF=AC，∠BFE=∠CAE；
    ∵∠EBF+∠BFE=90°，故∠EBF+∠CAE=90°，即BF、AC互相垂直．
    证明：∵△ABC、△BDE是等腰直角三角形
    ∴∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°，
    ∵AD⊥BC，
    ∴∠CFD=45°，
    ∴CD=CF；（2分）
    ∵FG∥BC，∠AGF=∠ABC=45°，
    ∴FG=AF，
    ∵AD=AF+FC，
    ∴AD=FG+DC．（3分）

    （2）FG、DC、AD之间满足的数量关系式是FG=DC+AC（解法同（1））．（4分）

    （3）过点B作BH⊥FG垂足为H，过点P作PK⊥AG垂足为K；（5分）
    ∵FG∥BC，C、D、B在一条直线上，
    可证△AFG、△DCF是等腰直角三角形，
    ∵AG=7，CD=5，
    ∴根据勾股定理得：AF=FG=7，FD=5，
    ∴AC=BC=2，
    ∴BD=3；
    ∵BH⊥FG，
    ∴BH∥CF，∠BHF=90°，
    ∵FG∥BC，
    ∴四边形CFHB是矩形，
    ∴BH=5，FH=2；
    ∵FG∥BC，
    ∴∠G=45°，
    ∴HG=BH=5，BG=5；
    ∵PK⊥AG，PG=2，
    ∴PK=KG=，
    ∴BK=5-=4；
    ∵∠PBQ=45°，∠HGB=45°，
    ∴∠GBH=45°，
    ∴∠1=∠2；
    ∵PK⊥AG，BH⊥FG，
    ∴∠BHQ=∠BKP=90°，
    ∴△BQH∽△BPK，
    ∴，
    ∴QH=，（6分）
    ∴；
    ∵FG∥BC，
    ∴∠D=∠MFQ，∠CBM=∠FQM，
    ∴△FQM∽△DBM，可求得DM=4；（7分）
    ∵∠D=∠MFQ，∠DNB=∠FNP，
    ∴△BDN∽△PFN，
    ∴，
    ∴，
    ∴．（8分）
    点评：此题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形．
    （1）如图①所示△ABC，△DBE，两直角边交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连接BF、AD，则线段BF与线段AD的数量关系是
     
    ；直线BF与直线AD的位置关系是
     
    ，并求证：FG+DC=AC；
    （2）如果小华将两块三角板△ABC，△DBE如图②所示摆放，使D、B、C三点在一条直线上，AC、DE的延长线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AE于点G，连接AD，FB，则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是
     
    ；
    （3）在（2）的条件下，若AG=7
    		2
    ，DC=5，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点（如图③），线段DF分别与线段BQ、BP相交于M、N两点，若PG=2，求线段MN的长．
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形．
    （1）如图①所示△ABC，△DBE，两直角边交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连接BF、AD，则线段BF与线段AD的数量关系是______；直线BF与直线AD的位置关系是______，并求证：FG+DC=AC；
    （2）如果小华将两块三角板△ABC，△DBE如图②所示摆放，使D、B、C三点在一条直线上，AC、DE的延长线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AE于点G，连接AD，FB，则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是______；
    （3）在（2）的条件下，若AG=数学公式，DC=5，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点（如图③），线段DF分别与线段BQ、BP相交于M、N两点，若PG=2，求线段MN的长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2010年江苏省南通市通州区初三年级模拟考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （2010•通州区一模）小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形．
    （1）如图①所示△ABC，△DBE，两直角边交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连接BF、AD，则线段BF与线段AD的数量关系是______；直线BF与直线AD的位置关系是______，并求证：FG+DC=AC；
    （2）如果小华将两块三角板△ABC，△DBE如图②所示摆放，使D、B、C三点在一条直线上，AC、DE的延长线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AE于点G，连接AD，FB，则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是______；
    （3）在（2）的条件下，若AG=，DC=5，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点（如图③），线段DF分别与线段BQ、BP相交于M、N两点，若PG=2，求线段MN的长．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案