Question

3．△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，D是BC的中点，CE⊥AE，若DE=8$\sqrt{2}$，AE=3EC，求：BE的长．

Answer 1

分析 作BF⊥AE于F，连DA，DF，用AAS证明出△AEC≌△BFA，再用SAS证明出△AED≌△BFD，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出EF，即可得出CE，AE，最后用勾股定理求出BE即可．

解答 解：如图，

过点B作BF⊥AE交EA延长线于点F，连接AD，FD，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠CEA=90°}\\{∠BAF=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACE，
∴AF=CE，BF=AE，
∵点D是等腰直角三角形的斜边的中点，
∴BD=AD，∠ABD=∠CAD=45°，
∵∠ABF=∠CAE，
∴∠DBF=∠DAE，
在△BDF和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=AE}\\{∠DBF=∠DAE}\\{BD=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADE，
∴DF=DE，∠BDF=∠ADE，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠BDF+∠ADF=∠ADB=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DF=DE=8$\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{2}$DE=16，
∵EF=AF+AE=CE+AE，而AE=3CE，
∴EF=4CE=16，
∴CE=4，
∴BF=AE=3CE=12，
在Rt△BEF中，BF=12，EF=16，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=20，
即：BE的长为20．

点评 此题是全等三角形的性质和判定，主要考查了全等三角形的性质的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，同角的余角相等，解本题的关键是判断出△AEC≌△BFA，△AED≌△BFD，从而得出△DEF是等腰直角三角形，作出辅助线是解本题的难点．