Question

如图在正方形ABCD中，E是BC的中点，BF=

1

4

AB
（1）求证：△BEF∽△CDE；
（2）连DF，作EH⊥DF，求证：EH²=FH•DH．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质易证得∠B=∠C=90°，AB=CD，所以

BF

CE

=

BE

CD

=

1

2

，则根据相似三角形的判定定理可以证得结论；
（2）由（1）中的相似三角形的对应角相等易证得EF⊥DE．则根据射影定理易证得结论．

解答：（1）证明：如图，∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，BF=

1

4

AB，
∴∠B=∠C=90°，

BF

CE

=

BE

CD

=

1

2

，
∴△BEF∽△CDE；

（2）证明：由（1）知，△BEF∽△CDE，则∠BEF=∠CDE．
∵∠BEF+∠BFE=∠CED+∠CDE=90°，
∴∠BEF+∠CED=90°，
∴∠FED=90°．
又∵EH⊥DF，
∴EH²=FH•DH．

点评：此题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例是常用的方法．