Question

在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1）若ABCD为正方形，
①如图（1），当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到？证明你的结论；
②结合图（2）求的值；
（2）如图（3），若ABCD为菱形，记∠BCA=α，请探究并直接写出的值．（用含α的式子表示）

Answer 1

（1）△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．
证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°-∠BGO，
∠EPO=90°-∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，
在△BOG和△POE中

∴△BOG≌△POE．
∴OE=OG，
又∵∠EOG=90°，
∴将线段OE绕点O顺时针旋转90°就得到OG．
又∵OB=OP，∠POB=90°，
∴将线段OP绕点O顺时针旋转90°就得到OB．
∴△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．

（2）如图2，作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB，
∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB，
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中

∴△BMN≌△PEN，
∴BM=PE．
∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．
又∵在△BPF和△MPF中

∴△BPF≌△MPF，
∴BF=MF，即BF=BM，
∴BF=PE，即=．


（3）如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠BPN=∠BCA，
∵∠BPE=∠BCA，
∴∠BPF=∠MPF，
∵PF⊥BG，
∴∠BFP=∠MFP，
在△BFP和△MFP中

∴△BFP≌△MFP（ASA），
∴BF=FM，
即BF=BM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DB⊥AC，
∵PM∥AC，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，
∴∠BNM=90°
∵∠PFM=90°，
∴∠MBN+∠BMN=90°，∠MPF+∠BMN=90°，
∴∠MBN=∠NPE，
∵∠BNM=∠ENP，
∴△BMN∽△PEN．
∴=，
∵tanα===，
∴=tanα．
分析：（1）△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到，求出△BOG≌△POE即可；
（2）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出证△BMN≌△PEN，推出BM=PE，证△BPF≌△MPF，推出BF=FM，即可求出答案；
（3）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出证△BMN≌△PEN，推出BM=PE，证△BPF∽△MPF，得出比例式，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案．
点评：本题考查了正方形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数的定义等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．