Question

6．如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°．
（1）请作出△ABC的内切圆（⊙O尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）设（1）中作出的⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，BC=8，AC=6，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心，然后作边的垂线，确定半径，继而可求得△ABC的内切圆；
（2）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得△ABC的内切圆的半径．

解答 解：（1）如图所示：⊙O即为所求；

（2）设△ABC内切圆的半径为r，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×6×8=24，AB+AC+BC=24，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）r，
∴r=$\frac{{2S}_{△ABC}}{AB+AC+BC}$=$\frac{2×24}{24}$=2．
∴⊙O的面积=4π．

点评 此题主要考查了作图--复杂作图，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点．