Question

已知?ABCD两邻边是关于x的方程x²-mx+m-1=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．
（2）若AB的长为2，那么?ABCD的周长是多少？

Answer 1

解：（1）若四边形为菱形，则方程两实根相等．
∴△=m²-4（m-1）=0
∴m²-4m+4=0
∴m₁=m₂=2
∴方程化为x²-2x+1=0
解得：x₁=x₂=1
∴菱形边长为1．

（2）由AB=2知方程的一根为2，将x=2代入得，4-2m-1=0，
解得：m=3此时方程化为：x²-3x+2=0，
解得（x-1）（x-2）=0
解得：x₁=1，x₂=2
∴C_{平行四边形ABCD}=2×（1+2）=6．
分析：（1）根据根的判别式得出△=m²-4（m-1）=0即可得出m的值，进而得出方程的根得出答案即可；
（2）由AB=2知方程的一根为2，将x=2代入得，4-2m-1=0，解出m的值，此时方程化为：x²-3x+2=0，得出方程根，进而得出C_{平行四边形ABCD}．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质等知识，正确应用菱形的性质得出是解题关键．