Question

同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．

（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为

4

，周长为

4+4

2

．
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为

4

，周长为

8

．
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为

4

．
（4）在如图3的情况下，AC交MN于D，MK交BC于E，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．

Answer 1

分析：（1）根据AC=BC=4，∠ACB=90°，得出AB的值，再根据M是AB的中点，得出AM=MC，求出重叠部分的面积，再根据AM，MC，AC的值即可求出周长；
（2）易得重叠部分是正方形，边长为

1

2

AC，面积为

1

4

AC²，周长为2AC．
（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G．求得Rt△MHD≌Rt△MGE，则阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积．
（4）先过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，根据∠DMH=∠GMH，MH=MG，得出Rt△DHM≌Rt△GME，从而得出HD=GE，CE=AD，最后根据AD和DF的值，算出DM=

5

，即可得出答案．

解答：解：（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

42+42

=4

2

，
∵M是AB的中点，
∴AM=2

2

，
∵∠ACM=45°，
∴AM=MC，
∴重叠部分的面积是

2 2 ×2 2

2

=4，
∴周长为：AM+MC+AC=2

2

+2

2

+4=4+4

2

；

（2）∵叠部分是正方形，
∴边长为

1

2

×4=2，面积为2×2=4，
周长为2×4=8．

（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，

∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a，
∴MH=

1

2

BC，
MG=

1

2

AC，
∴MH=MG，
又∵∠NMK=∠HMG=90°，
∴∠NMH+∠HMK=90°，∠GME+∠HMK=90°，
∴∠HMD=∠GME，
在△MHD和△MGE中，
∵

∠HMD=∠GME ∠DHM=∠EGM MH=MG

，
∴△MHD≌△MGE（ASA），
∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，
∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4；
∴阴影部分的面积是4；

（4）过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，

∴四边形MGCH是矩形，
∴MH=CG，
∵∠A=45°，
∴∠AMH=45°，
∴AH=MH，
∴AH=CG，
在Rt△DHM和Rt△EGM中，

∠DMH=∠GME MH=MG ∠DHM=∠EGM

，
∴Rt△DHM≌Rt△EGM．
∴GE=DH，
∴AH-DH=CG-GE，
∴CE=AD，
∵AD=1，
∴DH=1，CE=1，CD=4-1=3，
∴DM=

5

∴四边形DMEC的周长为：
CE+CD+DM+ME
=1+3+

5

+

5

=4+2

5

．
故答案为：4，4+4

2

，4，8，4．

点评：此题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．