Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于点F，求

AF

FC

的值．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：

分析：如图，作辅助线；首先证明DE=DG；然后运用勾股定理、射影定理等求出AE、EG的长度；运用平行线分线段成比例定理证明

AF

FC

=

AE

EG

=

2

1

，即可解决问题．

解答：解：如图，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G；
∵BE⊥AD，
∴BE∥CG，△BDE∽△CDG，
∴

BD

CD

=

DE

DG

，
∵BD=CD，
∴DE=DG；
设AB=2λ，则BD=λ；
∵∠ABD=90°，BE⊥AD，
∴AD=

4λ2+λ2

=

5

λ，AB²=AE•AD，
∴AE=

4 5

5

λ，DE=AD-AE=

5

5

λ，
∴GE=2DE=

2 5

5

；
∵EF∥CG，
∴

AF

FC

=

AE

EG

=

2

1

．

点评：该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定及其性质等来分析、解答．