Question

1．如图：正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF，DG⊥EF于H交BC于G．若tan∠BHG=$\frac{3}{4}$，△BGH的面积为3，求DK的长为5．

Answer 1

分析 如图，连接DE、DF，作BM⊥EF于M，BN⊥DG于N．则四边形BMHN是矩形．首先证明△DEF是等腰直角三角形，由tan∠BHG=tan∠HBM=$\frac{MH}{BM}$=$\frac{3}{4}$，可以假设MH=BN=3k，BM=4k，则BH=5k，根据条件求出k，再证明△DHK∽△BME，得$\frac{DK}{BE}$=$\frac{DH}{BM}$，由此即可解决问题．

解答 解：如图，连接DE、DF，作BM⊥EF于M，BN⊥DG于N．则四边形BMHN是矩形．

∵tan∠BHG=tan∠HBM=$\frac{MH}{BM}$=$\frac{3}{4}$，
∴可以假设MH=BN=3k，BM=4k，则BH=5k，
在△EAD和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠A=∠FCD}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△FCD，
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∵DN⊥EF，
∴EH=HF=BH=5k，
∵HG∥BM，
∴$\frac{GH}{BM}$=$\frac{HF}{FM}$，
∴GH=$\frac{5}{2}$k，
∵△BGH的面积为3，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$k×3k=3，
∴k²=$\frac{4}{5}$，
∵k＞0，
∴k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DH=BH=2$\sqrt{5}$，EM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BE=$\sqrt{B{M}^{2}+E{M}^{2}}$=4，
∵∠BEM=∠DKH，∠BME=∠DHK，
∴△DHK∽△BME，
∴$\frac{DK}{BE}$=$\frac{DH}{BM}$，
∴$\frac{DK}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}$，
∴DK=5．
故答案为5．

点评 本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．