Question

16．在平面直角坐标系中，O坐标系原点，抛物线y=ax²-2ax+b交x轴负半轴与点A，交x轴正半轴于点B，抛物线的顶点为C，其纵坐标为-2，AB=4．
（1）如图1，求a、b的值；
（2）如图2，点D在CA的延长线上，点E在射线AB上，连接DE，将DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，过E作EG‖y轴，交DF于点G，点H 在第二象限直线DF上方的抛物线上，连接DH，当DG=2GF，∠HDF=2∠DEA时，求点H的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴x=1，AB=4，推出A（-1，0），B（3，0），推出顶点C坐标（1，-2），设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-2，把（-1，0）代入得a=$\frac{1}{2}$，由此即可解决问题．
（2）如图1中，作DN⊥x轴于N，作FM⊥x轴于M，连接AF．只要证明△DEN≌△EFM，推出DN=EM，EN=FM，因为A（-1，0），C（1，-2），所以tan∠CAO=$\frac{2}{2}$=1，推出∠DAN=∠OAC=45°，推出DN=AN=EM，推出EN=AM=FM，推出∠FAM=45°，推出直线AF的解析式为y=x+1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解方程组即可确定点F坐标．
（3）如图2中，作DN⊥x轴于N，FM⊥x轴于M，DJ⊥EG于J，延长EG使得EJ=JK，在EK的延长线上截取KP=DJ，作PQ⊥PE，截取PQ=KJ，连接DQ交抛物线于H．
只要证明∠HDF=2∠DEA，求得直线DQ的解析式为y=3x+15，解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+15}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=ax²-2ax+b，对称轴x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），顶点C坐标（1，-2），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-2，把（-1，0）代入得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线是解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，即y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$．

（2）如图1中，作DN⊥x轴于N，作FM⊥x轴于M，连接AF．

∵∠DNE=∠EMF=∠DEF=90°，
∴∠DEN+∠FEM=90°，∠FEM+∠EFM=90°，
∴∠DEN=∠EFM，
在△DEN和△EFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEN=∠EFM}\\{∠DNE=∠EMF}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△DEN≌△EFM，
∴DN=EM，EN=FM，
∵A（-1，0），C（1，-2），
∴tan∠CAO=$\frac{2}{2}$=1，
∴∠DAN=∠OAC=45°，
∴DN=AN=EM，
∴EN=AM=FM，
∴∠FAM=45°，
∴直线AF的解析式为y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴点F的坐标为（5，6）．

（3）如图2中，作DN⊥x轴于N，FM⊥x轴于M，DJ⊥EG于J，延长EG使得EJ=JK，在EK的延长线上截取KP=DJ，作PQ⊥PE，截取PQ=KJ，连接DQ交抛物线于H．

∵DN∥EG∥FM，DG=2FG，
∴$\frac{EN}{EM}$=$\frac{DG}{GF}$=2，
∴FM=EN=2EM，
∵FM=6，
∴DN=EM=EJ=KJ=3，DJ=EN=6，
∵DJ=PK=6，PQ=KJ=3，∠DJK=∠QPK，
∴△DJK≌△KPQ，
∴DK=KQ，∠KDJ=∠QKP，
∵∠KDJ+∠DKJ=90°，
∴∠DKJ+∠QKP=90°，
∴∠DKQ=90°，
∴∠KDQ=∠DQK=45°，
∵DK=DE，DJ⊥EK，
∠JDK=∠JDE=∠DEA，
∴∠KDE=2∠DEA=∠EDF+∠KDF=45°+∠KDF=∠QDK+∠KDG=∠QDF，
∴∠HDF=2∠DEA，
∵Q（-1，12），D（-4，3），
∴直线DQ的解析式为y=3x+15，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+15}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=11}\\{y=48}\end{array}\right.$，
∵点H在第二象限，
∴点H的坐标为（-3，6）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，本题体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．