Question

（2012•哈尔滨）已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．
（1）如图1，求证：PC=AN；
（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．

Answer 1

分析：（1）要点是确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN；
（2）要点是按照已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度．

解答：（1）证明：证法一：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB  MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
∴AQ=MN，
∴△AQP≌△MNA（ASA）
∵AN=PQ  AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分线的性质），
∴PC=AN；
证法二：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°=∠ANM
∵AQ=MN，
∴△PQA≌△ANM（ASA）
∴AP=AM，PQ=AN，
∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°，
∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∵∠APM=∠BPC，
∴∠QPB=∠BPC
∵∠BQP=∠BCP=90°，BP=BP
∴△BPQ≌△BPC（AAS）
∴PQ=PC，
∴PC=AN．

（2）解：解法一：
如图②，∵NP=2  PC=3，
∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5  AC=8，
∴AM=AP=5
∴AQ=MN=

AM2-AN2

=4
∵∠PAQ=∠AMN∠ACB=∠ANM=90°
∴∠ABC=∠MAN
∴tan∠ABC=tan∠MAN=

MN

AN

=

4

3

∵tan∠ABC=

AC

BC

，
∴BC=6
∵NE∥KC，
∴∠PEN=∠PKC，
又∵∠ENP=∠KCP
∴△PNE∽△PCK，
∴

NE

CK

=

NP

PC

，
∵CK：CF=2：3，
设CK=2k，则CF=3k
∴

NE

2k

=

2

3

，NE=

4

3

k．
过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形
∴NE=TF=

4

3

k，
∴CT=CF-TF=3k-

4

3

k=

5

3

k
∵EF⊥PM，
∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF，
∴∠BPC=∠BFH
∵EF∥NT，
∴∠NTC=∠BFH=∠BPC
tan∠NTC=tan∠BPC=

BC

PC

=2，
∴tan∠NTC=

NC

CT

=2，
∴CT=

5

3

k=

5

2

，
∴k=

3

2

，
∴CK=2×

3

2

=3，BK=BC-CK=3
∵∠PKC+∠DKB=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，
∴∠BDK=∠PKC，
tan∠PKC=

PC

KC

=1，
∴tan∠BDK=1．
过K作KG⊥BD于G
∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=

4

3

，
∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n
∴BK=5n=3，
∴n=

3

5

，
∴BD=4n+3n=7n=

21

5

∵AB=

AC2+BC2

=10，AQ=4，
∴BQ=AB-AQ=6
∴DQ=BQ-BD=6-

21

5

=

9

5

．
解法二：
如图③，∵NP=2，PC=3，
∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5，AC=8，
∴AM=AP=5
∴AQ=MN=

AM2-AN2

=4
∵NM∥BC，
∴∠NMP=∠PBC
又∵∠MNP=∠BCP，
∴△MNP∽△BCP
∴

MN

BC

=

NP

PC

，
∴

4

BC

=

2

3

BC=6
作ER⊥CF于R，则四边形NERC是矩形
∴ER=NC=5，NE=CR
∵∠BHE=∠BCR=90°
∴∠EFR=90°-∠HBF∠BPC=90°-∠HBF
∴∠EFR=∠BPC，
∴tan∠EFR=tan∠BPC，
∴

ER

RF

=

BC

PC

，即

5

RF

=

6

3

∴RF=

5

2

，
∵NE∥KC，
∴∠NEP=∠PKC
又∵∠ENP=∠KCP，
∴△NEP∽△CKP，
∴

NE

KC

=

NP

PC

=

2

3

∵CK：CF=2：3，设CK=2k，CF=3k
∴NE=CR=

4

3

k，CR=CF-RF=3k-

5

2

，
∴3k-

5

2

=

4

3

k
∴k=

3

2

，
∴CK=3  CR=2
∴BK=3
在CF的延长线上取点G，使∠EGR=∠ABC，
∴tan∠EGR=tan∠ABC
∴

ER

RG

=

AC

BC

=

4

3

，
∴RG=

3

4

ER=

15

4

，EG=

ER2+RG2

=

25

4

，KG=KC+CR+RG=

35

4

，
∵∠DKE+∠EKC=∠ABC+∠BDK，∠ABC=∠DKE，
∴∠BDK=∠EKC，
∴△BDK∽△GKE，
∴

BD

KG

=

BK

EG

∴BD•EG=BK•KG，
∴∠BDK=∠EKC，
∴△BDK∽△GKE，
∴BD=

21

5

∵AB=

AC2+BC2

=10，AQ=4，
∴BQ=AB-AQ=6
∴DQ=BQ-BD=6-

21

5

=

9

5

解法三：
如图④，∵NP=2，PC=3，
∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5，AC=8，
∴AM=AP=5
∴AQ=MN=

AM2-AN2

=4
∵NM∥BC，
∴∠EMH=∠PBC∠PEN=∠PKC
又∵∠PNE=∠PCK，
∴△PNE∽△PCK，△PNM∽△PCB
∴

NE

CK

=

PN

PC

，

MN

BC

=

PN

PC

，
∵CK：CF=2：3，
设CK=2k，CF=3k
∴

NE

2k

=

2

3

，

4

BC

=

2

3

，
∴NE=

4

3

k，BC=6
∴BF=6+3k，ME=MN-NE=4-

4

3

k
tan∠ABC=

AC

BC

=

4

3

，BP=

PC2+BC2

=3

5

∴sin∠EMH=sin∠PBC=

PC

BP

=

5

5

∵EF⊥PM，
∴FH=BFsin∠PBC=

5

5

（6+3k）
EH=EMsin∠EMH=

5

5

（4-

4

3

k）
∴tan∠REF=tan∠PBC=

1

2

，
∵tan∠REF=

RF

RE

∴RF=

5

2

∴EF=

ER2+RF2

=

5 5

2

，
∵EH+FH=EF
∴

5

5

（4-

4

3

k）+

5

5

（6+3k）=

5 5

2

，
∴k=

3

2

∴CK=2×

3

2

=3，BK=BC-CK=3
∵∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK∠DKE=∠ABC，
∴∠BDK=∠PKC
∵tan∠PKC=1，
∴tan∠BDK=1，
过K作KG⊥BD于G
∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=

4

3

∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n
∴BK=5n=3，
∴n=

3

5

，
∴BD=4n+3n=7n=

21

5

∵AB=

AC2+BC2

=10，AQ=4，
∴BQ=AB-AQ=6，
∴DQ=BQ-BD=6-

21

5

=

9

5

．

点评：本题是几何综合题，综合考查了相似三角形、全等三角形、勾股定理、解直角三角形、角平分线性质、平行四边形、矩形等重要知识点．题干中给出的条件较多，图形复杂，难度较大，对考生能力要求较高；解题时，需要认真分析题意，以图形的相似、图形的全等为主线寻找解题思路．解答中提供了多种解题方法，可以开拓思路，希望同学们认真研究学习．